Stochastik

Stochastik — mathematisch-statistische Methoden, bei denen neben deterministischen auch stochasti­sche Größen, die nur wahrscheinlichkeitstheore­tisch gekennzeichnet werden können, auftreten. Bei der stochastischen Programmierung können Parameter in der Zielfunktion und in den Neben­bedingungen stochastisch sein. Stochastische Pa­rameter in der Zielfunktion können mittels der mathematischen Erwartung erfasst werden. Bei stochastischen Parametern in den Nebenbedingun­gen kann man die Wahrscheinlichkeitsverteilung durch Funktionen stufenweise approximieren. Stochastische Prozesse sind Vorgänge, die vom Zufall abhängen, d.h. die infolge des Einflusses einer Anzahl in ihrer Wirkung nicht genau über- rechenbarer Faktoren nicht exakt vorhergesagt werden können. Unter diesem Gesichtspunkt stellt z. B. der Verbrauch an elektrischer Energie in einer Stadt während eines bestimmten Zeitraumes einen stochastischen Prozess dar. Der Verbrauch ist, als Funktion der Zeit t betrachtet, eine zufällige Funktion. Mathematisch gesehen sind stochasti­sche Prozesse Mengen von Zufallsvariablen oder zufälligen Ereignissen, die von einem Parameter t abhängen. Beim Poissonschen Prozess weist die Zufallsvariable X_i für jeden Zeitpunkt t eine Pois­sonverteilung auf. Markoffsche Prozesse sind Stochastische Prozesse, deren Verlauf von der Vorgeschichte unabhängig ist. Stochastische Aus­sagen geben nicht genau an, wie jede einzelne Beobachtung ausfallen wird, sondern lediglich, mit welchen Wahrscheinlichkeiten die Beobachtungen auf lange Sicht vorkommen werden. Die Zufalls­variablen X und Y sind voneinander stochastisch unabhängig, wenn die Verteilung der X bzw. Y von Y bzw. X nicht abhängt. Ändert sich das Vertei­lungsgesetz der einen Zufallsvariablen in Ab­hängigkeit von den Werten der anderen, so be­zeichnet man den Zusammenhang als stochasti­sche Bindung. Eine stochastische Bindung zw. zwei Zufallsvariablen besteht dann, wenn eine Reihe zufälliger Faktoren beide Zufallsvariablen und weitere zufällige Faktoren nur eine Zufalls­variable beeinflussen. Im Telefonverkehr bilden die ankommenden Gespräche, die Gesprächs­dauer, die Wartezeit und die beendeten Gespräche stochastische Prozesse. In der Bevölke­rungsstatistik bilden die Sexualproportionen bei der Geburt, das Paritätsalter der 1(x)-Funktion, das Normalalter nach Lexis und weitere demographi­sche Größen stochastische Prozesse.